Tóm tắt

Giải toán là một hoạt động chủ yếu trong học toán. Các bài toán là một phương tiện hữu hiệu để học sinh có thể áp dụng các tri thức Toán học vào cuộc sống từ đó góp phần nâng cao các kĩ năng cuộc sống thông qua các tri thức lĩnh hội ở trường phổ thông. Bài báo này sẽ đưa ra một số loại bài toán thường gặp trong chương trình môn Toán phổ thông, đặc biệt là các bài toán thực tế. Việc phân tích chương trình và sách giáo khoa toán hiện hành (lớp 10 đại trà) sẽ làm rõ hai vấn đề sau: các mục tiêu giáo dục liên quan đến việc áp dụng các tri thức Toán học vào cuộc sống được yêu cầu ở trường phổ thông hiện nay cũng như thực trạng của việc triển khai ND dạy học này trong sách giáo khoa. Cuối cùng bài báo đề xuất một quy trình dạy học giải các bài toán thực tiễn nhằm giúp học sinh có thể áp dụng kiến thức Toán trong thực tiễn hỗ trợ phát triển các kĩ năng cuộc sống của mình.

Từ điển tiếng Việt (Hoàng Phê 2004) định nghĩa kĩ năng như khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế. Từ điển Le Petit Robert (1996) lại định nghĩa kĩ năng như khả năng thành công trong các công việc dự định tiến hành, trong việc giải quyết các vấn đề thực tế; khả năng, kinh nghiệm trong việc thực hiện một hoạt động trí tuệ hay nghệ thuật. Hai định nghĩa này đã nêu lên hai đặc điểm của kĩ năng: vận dụng các kiến thức đã có vào một vấn đề trong thực tế.

Kỹ năng cuộc sống là những kỹ năng cần có cho hành vi lành mạnh, tích cực cho phép đối mặt với những thức thách của cuộc sống hàng ngày. Kỹ năng cuộc sống bao gồm: kỹ năng giao tiếp, kỹ năng ra quyết định, kỹ năng quan hệ, kỹ năng giải quyết vấn đề, thiết lập mục tiêu, suy nghĩ tích cực, kiểm soát tình cảm, quyết đoán, phát triển lòng tự trọng, tránh áp lực đồng đẳng v.v...

Với bốn tiêu chí học tập học để biết; học để làm; học để sống; học để tồn tại tổ chức UNESCO đã phân các kĩ năng cuộc sống mà giáo dục (GD) PT cần trang bị cho học sinh (HS) thành bốn nhóm (theo http://portail.unesco.org): kĩ năng để hoàn thiện cá nhân, kĩ năng để sống trong cộng đồng, kĩ năng để đối mặt với sự thay đổi kinh tế, kĩ năng để làm việc nhóm.

Dạy học (DH) giải quyết vấn đề thông qua việc giải các bài toán trong Toán học là một trong các hoạt động chủ yếu trong DH Toán. Do đó việc giải các BTNDTT sẽ hỗ trợ HS hình thành và phát triển kĩ năng cuộc sống. Yêu cầu DH nội dung (ND) này đối với giáo viên (GV) Toán phổ thông (PT) như thế nào? Chương trình (CT) môn Toán PT đặt những yêu cầu, mục tiêu gì cho việc DH chủ đề này? Các mục tiêu đó được triển khai và thể hiện trong sách giáo khoa (SGK) Toán như thế nào? Thế nào là bài toán, bài toán có ND thực tiễn (BTNDTT)? Quy trình DH chúng được triển khai trong SGK như thế nào? Trong khuôn khổ bài báo này, chúng tôi sẽ cố gắng trả lời một phần các câu hỏi này.

Theo Lê văn Tiến (2006), việc phân biệt một cách rõ nét hai khái niệm Bài toán và Bài tập là một việc khá khó khăn và phức tạp. SGK Việt Nam hiện hành không phân biệt hai từ này và chỉ dùng từ bài tập để chỉ các đề bài toán ra cho HS, dù chúng là các ứng dụng trực tiếp từ các tri thức lí thuyết (ví dụ như áp dụng các công thức định thức D, Dx, Dy để giải một hệ PT bậc nhất hai ẩn) hay chúng đòi hỏi một quá trình giải phức tạp hơn yêu cầu mô hình hóa một vấn đề thực tiễn thành một bài toán mà HS có thể áp dụng trực tiếp các công thức trên. SGK của một số nước có nền giáo dục tiên tiến như thường phân biệt hai từ này. Ví dụ SGK Pháp, trong phần dành cho HS làm việc ở nhà, Bouvier (2000) phân chia các đề bài thành hai phần: phần bài tập bài tập và phần bài toán. Phần bài tập bao gồm các câu hỏi áp dụng trực tiếp phần lí thuyết. Phần bài toán bao gồm việc giải quyết nhiều vấn đề xuất phát từ cuộc sống thực tiễn, đòi hỏi sự mô hình hóa chúng để đưa về các bài tập.

Các giáo trình phương pháp DH môn Toán trong các trường sư phạm hiện nay cũng chưa thống nhất về cách dùng hai từ này. Ta có thể gặp trong phần các tình huống điển hình trong DH Toán cụm từ DH giải bài tập Toán học (Nguyễn Bá Kim 2006) hoặc DH giải các bài toán (Lê Văn Tiến 2006).

Trần Thúc Trình đã phân biệt hai khái niệm bài tập và bài toán như sau:

Để giải bài tập chỉ cần yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học. Nhưng đối với bài toán để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để sử lí các tình huống còn có một khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lí thích hợp. Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống (Trần thúc Trình 2003).

Herr và Johnson (1994) khi bàn về giải bài toán đã phân biệt hai khái niệm này như sau giải bài tập thường chủ yếu yêu cầu HS lặp lại các phương pháp đã được học khi giải các ví dụ tương tự. Bài toán thường khó hơn nhiều và HS thường không biết trước được các kiến thức nào đã học sẽ được sử dụng để giải chúng.

Trong báo cáo này chúng tôi sử dụng quan niệm coi bài tập là một trường hợp riêng của bài toán của Lê Văn Tiến (2006) và bài toán (BT) được hiểu là tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa biết mà ta cần tìm từ một số dữ kiện, hoặc về việc xác định một phương pháp cần khám phá để nhờ đó thu được một kết quả đã biết (Từ điển Petit Robert).

Tùy theo mục đích DH, các BT có thể được phân loại theo cách nhị phân như sau: BT thuộc dạng có thuật toán và BT không có thuật toán tổng quát; BT mở và BT đóng; BT tìm tòi và BT chứng minh; BTNDTT và BT Toán học.

Sự phân chia này thường dựa trên hai hướng có xu hướng đối lập, mang tính chất tương đối, và có thể được chia nhỏ nữa tùy theo các tiêu chí đặt ra. Ví dụ trong lí thuyết thuật toán, các BT được chia nhỏ hơn như sau: các BT không có thuật toán, các BT có thuật toán có độ phức tạp cấp lũy thừa, các BT có độ phức tạp cấp đa thức (Nguyễn Chí Thành 2005).

Tri thức Toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựng bắt đầu từ hoạt động giải toán của HS.

Chính HS tự mình xây dựng các kiến thức Toán học thông qua hoạt động giải các BT. Học Toán là học nêu lên, học trình bày và học giải quyết các BT; học xem xét lại các BT dưới ánh sáng của những công cụ lí thuyết nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các vấn đề. (Lê Văn Tiến 2006, trang 175).

Như vậy, hoạt động giải các BT - giá mang các tri thức đóng vai trò trung tâm trong hoạt động học Toán.

Trong các chức năng của BT trong việc DH Toán như tạo đông cơ; hoạt hóa kiến thức cũ; phương tiện đưa vào kiến thức mới; củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và kĩ xảo Toán học; phát triển năng lực tư duy và phẩm chất tư duy; công cụ chẩn đoán biểu tượng của HS về một khái niệm; cho phép làm rõ vai trò ý nghĩa thực tiễn của tri thức Toán học,cho phép tiếp cận DH mô hình hóa và bằng mô hình hóa (Lê Văn Tiến 2006, trang 182) chúng tôi đặc biệt quan tâm đến làm rõ vai trò ý nghĩa thực tiễn của Toán học vì như chúng tôi đã chỉ ra ở trên, chúng góp phần phát triển các kĩ năng cuộc sống của HS.

Khi xem xét các BT theo quan điểm gắn với NDTT, Coulange (1998) đã phân biệt ba khái niệm khác nhau về BT như sau:

Hình 1. Một cách phân loại bài toán

Thuật ngữ thực tiễn ở đây không chỉ bao hàm thực tiễn của cuộc sống đời thường mà còn cả thực tiễn trong các ngành khoa học khác (ví dụ trong các môn vật lí, hóa học, sinh học) và ngay cả thực tiễn của lịch sử Toán học (Nguyễn Chí Thành 2005). Vậy thì thế nào là BTNDTT, BT phỏng thực tiễn và BT Toán học?

Theo Lê Văn Tiến BTNDTT là BT mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ,…chứa đựng trong BT đều là các yếu tố của thực tiễn ‘’thực’’; BT phỏng thực tiễn là BT mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ,…không phải là các yếu tố của thực tiễn ‘’thực’’ mà chỉ là sự mô phỏng (hay phản chiếu) của thực tiễn này.[…] Sự sai biệt [giữa BTNDTT và BT phỏng thực tiễn] là hệ quả của hệ thống dạy học. Chẳng hạn, giá trị của các dữ kiện được cho trong bài toán thường được chọn sao cho việc tính toán không quá phức tạp, kết quả giải (đáp số) đẹp hơn (trang 166). Như vậy các BT có áp dụng tri thức Toán trong CT Toán PT sẽ chủ yếu là các BT phỏng thực tiễn.

Các bài toán phỏng thực tiễn này được triển khai như thế nào trong CT (CT) và SGK môn Toán phổ thông? Trong khuôn khổ bài báo này, chúng tôi giới hạn nghiên cứu cho DH Toán ở lớp 10, CT đại trà đang được áp dụng cho tất cả các trường trung học PT trên toàn quốc.

Chúng tôi xét ba cấp độ phân tích liên quan đến ND DH giải các BTNDTT:

Việc phân tích theo các cấp độ này sẽ cho phép thấy được các yêu cầu của thể chế đào tạo GV Toán PT (các trường, khoa Sư phạm) đối với việc DH giải các BTNDTT và sau đó đối chiếu với việc triển khai chúng trong CT và SGK Toán. Tài liệu được lựa chọn khi phân tích CT đào tạo là các giáo trình PPDH của các trường Đại học Sư phạm và các sách hướng dẫn GV của bộ GD & ĐT ban hành.

ND CT đào tạo GV toán PT đã nhấn mạnh vai trò của BT trong việc hình thành các tri thức Toán học ở HS. Một trong các nguyên tắc DH toán chính là nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa lí luận và thực tiễn.

Cần làm cho HS làm toán có ND thực tiễn như giải những BT bằng cách lập PT, giải toán cực trị, đo những khoảng cách không tới được bằng cách dùng những hàm số lượng giác hay việc giải các BT góp phần hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình DH, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn. (Nguyễn Bá Kim 2006).

Lê Văn Tiến (2006) nhấn mạnh hai mục đích khi DH các BTNDTTlàm cho HS ý thức được nguồn gốc của Toán học: dù Toán học là một khoa học suy diễn, nhưng phần lớn các tri thức Toán học đều nảy sinh từ thực tiễn, là công cụ hay phương tiện giải quyết các vấn đề của thực tiễn; nhấn mạnh đặc trưng của khoa học Toán học cũng như mục tiêu của DH toán: Toán học là một khoa học công cụ. DH toán không chỉ đơn thuần là DH các tri thức Toán học thuần túy mà còn dạy cách vận dụng các tri thức này vào việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn, từ đó hình thành và phát triển ở HS thói quen và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn.

Các sách giáo viên hướng dẫn DH do bộ GD & ĐT ban hành cũng nhấn mạnhVới yêu cầu tăng cường rèn luyện kĩ năng thực hành, CT [môn Toán] quy định rõ: […] Biết giải các BT bằng cách lập PT […] chú ý đến các BT có ND thực tế và ND gắn với các môn học khác. So sánh với khái niệm về kĩ năng cuộc sống trình bày ở phần trên, CT đào tạo GV nhấn mạnh và coi việc phát triển ở HS thói quen và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn sẽ hỗ trợ việc hình thành và phát triển các kĩ năng cuộc sống của HS.

Trong phần các mục tiêu chung của DH Toán PT có sự hiện diện của kĩ năng vận dụng các kiến thức Toán học trong cuộc sông: Môn Toán ở THPT cần giúp HS […] 2. về Kĩ năng […] Giải toán và vận dụng Toán học trong học tập và đời sống (trang 92). Mục tiêu này được cụ thể hóa trong phần trình bày chi tiết trong bảng sau:

Theo khái niệm kĩ năng trong cuộc sống được trình bày ở trên, CT Toán PT nhấn mạnh và coi việc giải các BTNDTT sẽ góp phần hình thành và phát triển các kĩ năng này. Các BTNDTT được đưa vào các chủ đề quen thuộc từ cấp TH Cơ sở mỗi khi việc áp dụng tri thức Toán học trong cuộc sống được nói đến. Đó là DH các ND PT và hệ PT (bậc nhất, bậc hai), DH việc đo đạc thể tích, diện tích, khoảng cách của các hình hình học trong cuộc sống. Các BTNDTT liên quan đến các NDDH mới được đề cập ở THPT như hàm số bậc hai, góc và cung lượng giác (phần Đại số) hoặc PP tọa độ trong mặt phẳng (phần Hình học) hầu như không được giới thiệu. HS do đó không có cơ hội để hình thành và phát triển các kĩ năng áp dụng Toán học vào cuộc sống trong các lĩnh vực khác của Toán học.

Các mục tiêu này được thể hiện trong SGK như thế nào? Mục tiêu CT nhấn mạnh kĩ năng “biết giải các BTNDTT’’, vậy chúng được triên khai trong SGK như thế nào? SGK có tăng cường đưa các BTNDTT vào các NDDH khác không?

Trong SGK, các BTNDTT được đưa vào đúng theo thứ tự các chương được chỉ ra trong CT của bộ GD & ĐT (chương III, IV, V phần Đại số, chương VII phần hình học). Tuy nhiên trong các chương này số lượng các BT thực tế trong SGK còn khá khiêm tốn. Phần Đại số, nếu không kể 21 BT trong chương Thống kê mà ở đó các số liệu thống kê được lấy từ các ví dụ thực tế thì trên tổng số 167 BT chỉ có 9 BTNDTT, chiếm gần 5,4%. Phần Hình học, trong tổng số 118 BT được giới thiệu chỉ có 3 BTNDTT chiếm gần 2,5%. Các BT này tập trung chủ yếu một số chương như chương “PT và hệ PT” phần Đại số có 7 BT, chương “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dung” có 3 bài. Như vậy cơ hội để HS giải các BT này và qua đó có thể rèn luyện các kĩ năng ứng dụng Toán học trong thực tế là rất ít. Các BT có ND thực tế chủ yếu liên quan đến chủ đề DH “Giải BT bằng cách lập PT” (trong Đại số) hoặc “Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc” (trong Hình học).

Quy trình giải các BTNDTT này được chỉ dẫn một cách “ngầm ẩn” theo các bước được đưa một cách tường minh bắt đầu từ CT Toán 8 như sau (SGK Toán lớp 8, trang 25): Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: Bước 1. Lập PT: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập PT biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng; Bước 2. Giải PT; Bước 3. Trả lời.

Quy trình được phát biểu lại trong sách GV Toán 9 (trang 60) như sau: “1.Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn; 2.Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn; 3.Lập PT; 4.Giải PT; 5.Trả lời”. Các bước này không được đưa ra trong SGK, lớp 9 cũng như lớp 10. Như vậy kĩ năng áp dụng Toán học vào cuộc sống mà HS phải lĩnh hội chủ yếu là kĩ năng lập và giải PT từ một BT có ND thực tế, trong đó kĩ năng “lập PT” bị coi nhẹ hơn so với kĩ năng “giải PT”. Tuy nhiên chúng ta đều biết một trong những kĩ năng quan trong để áp dụng Toán học trong cuộc sống chính là việc chuyển từ các BTNDTT về các mô hình Toán học, nói cách khác là “lập PT” chúng. Việc giải BTNDTT bằng cách lập PT được đặt trong hệ thống DH như sau (tham khảo Coulange 1998):

Phân tích các BTNDTT được giải bằng cách lập phương trình cũng cho thấy kĩ năng “lập PT” cũng chịu nhiều ràng buộc chặt chẽ và thường tuân theo quy tắc “đề bài hỏi cái gì thì ta đặt cái đó là ẩn”. Ví dụ:

“Trong BT trên, ta thấy có hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm. […] Vậy ta có thể giải BT đã cho như sau: Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y. […]” (SGK Toán 9, tập 2 trang 20). Như vậy việc lập PT, khâu quan trọng trong DH các BTNDTT và từ đó DH mô hình hóa, được chỉ dẫn từng bước không phát huy được tính sáng tạo của HS để thông qua đó hình thành các kĩ năng áp dụng Toán học vào cuộc sống.

III. Quy trình dạy học giải các BTNDTT

Các bước thực hiện trong DH giải các BTNDTT có thể được mô tả như sau: Bước 1. Chuyển các BTNDTT về các BT Toán học bằng việc xây dựng một mô hình Toán học của thực tiễn thông qua việc “Dịch” các yếu tố thực tiễn sang ngôn ngữ Toán học; Bước 2. Giải các BT Toán học; Bước 3. “Dịch” câu trả lời của BT Toán học sang câu trả lời của BTNDTT.

Quy trình DH các BTNDTT được Coulange (1998) mô tả trong sơ đồ sau:

IV. Kết luận

Trong DH Toán học giải BTNDTT để từ đó rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề sẽ góp phần hình thành và phát triển các kĩ năng cuộc sống. Trong CT Toán đại trà lớp 10, sự không phong phú về thể loại cũng như các ràng buộc “ngầm ẩn” chặt chẽ về quy trình giải sẽ hạn chế việc hình thành các kĩ năng này. DH giải các BT loại này cần nhắm đến dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa vì mô hình hóa các vấn đề thực tiễn trong các tri thức tương ứng là một kĩ năng cuộc sống cần thiết trong thời đại công nghệ thông tin hiện nay. Hơn nữa trong DH Toán, tri thức Toán học cần truyền thụ có thể nảy sinh qua quá trình giải quyết các BTNDTT theo quy trình: BTNDTT ® Xây dựng mô hình Toán học ® Câu trả lời cho BTNDTT ® Tri thức cần truyền thụ ® Vận dụng tri thức này để giải các BTNDTT.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Billstein R., Libeskind S., W. Lott Johnny (1993), A problem solving approach to Mathematics, Nhà xuất bản Addison Wesley Publishing Company

2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006a), Chương trình giáo dục PT môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục

3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006b), Đại số 10, Hình học 10, Toán 9, Toán 8, Sách giáo viên Toán 9, Nhà xuất bản Giáo dục

4. Bouvier A. (1993) (chủ biên), Dictionnaires des Mathématiques, Nhà xuất bản PUF

5. Bouvier J-P. (2000) (chủ biên), Math 2^e, Nhà xuất bản Belin

6. Coulange L. (1998), Les problèmes ‘’concrets’’ à mettre en équation dans l’enseignement in Petit X, N 47, Nhà xuất bản Irem, Grenoble, Pháp

7. Đinh Quang Minh (2003), Tăng cường khai thác ứng dụng của một số chủ đề Toán học trong Đại số 10 vào việc giải các BT mang ND thực tiễn, Tạp chí Thông tin khoa học Giáo dục N 95, Viện Khoa học Giáo dục

8. Herr T., Johnson K. (1994), Problem solving strategies – Crossing the river with dogs, Nhà xuất bản Key Curriculum Press

9. Hoàng Phê (2004) (chủ biên), Từ điển tiếng Việt, Nhà xuất bản Đà nẵng – Trung tâm Từ điển học

10. Lê Văn Tiến (2006), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường PT (Các tình huống DH điển hình), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

11. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà nội

12. Nguyễn Chí Thành (2005), Etude didactique de l’introduction d’éléments d’algorithmique et de programmation dans l’enseignement mathématique secondaire à l’aide de la calculatrice, Luận án Tiến sĩ, Đại học Grenoble, Pháp

13. Rolland J. (1999), Pertinence des mathématiques discrètes pour l’apprentissage de la modélisation et de l’implication, Luận án Tiến sĩ, Đại học Grenoble, Pháp

Trang Web:

http://www.tuvantuoihoa.org.vn/main.php?type=7&id=22

http://portal.unesco.org/education/en/