Tác giả đề xuất dạng đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu (dự đoán rằng đồng cấu Lannes - Zarati triệt tiêu trên đối đồng điều của đại số Steenrod tại các bậc đồng điều lớn hơn 2) và giả thuyết yếu về lớp cầu. Tác giả công trình đã chứng minh rằng giả thuyết yếu về lớp cầu tương đương với sự kiện các lớp Dickson đều bị khử trong đại số đa thức bởi các toán tử Steenrod. Giả thuyết này đã được tác giả cùng một cộng sự chứng minh. Trên cơ sở xây dựng một biểu diễn ở mức độ dây chuyền cho đồng cấu Lannes-Zarati, tác giả chứng minh rằng giả thuyết về lớp cầu dạng đại số tương đương với sự kiện đáng ngạc nhiên là các bất biến Dickson cảm sinh các lớp bằng không trong đối đồng điều của đại số Steenrod. Giả thuyết này được tác giả cùng các cộng sự chứng minh trong nhiều trường hợp riêng.

Tác giả đã phát hiện và chứng minh sự kiện sau đây: Nếu xuất phát từ bất kỳ bậc nào rồi tác động toán tử squaring lặp lại nhiều nhất là (k-2) lần, chúng ta sẽ lọt vào một vùng mà ở đó toán tử squaring là đẳng cấu trên các đối bất biến của nhóm tuyến tính tổng quát tác động trên đại số đa thức. Hai ứng dụng của hiện tượng đó là như sau. Định lý chính thứ nhất khẳng định rằng đồng cấu chuyển không phải là một đẳng cấu tại một số vô hạn bậc khi bội của đồng cấu chuyển lớn hơn 3. Định lý chính thứ hai nói rằng các phần tử trong bất kỳ một họ nào được nối kết bằng toán tử squaring trong đối đồng điều của đại số Steenrod, trừ ra nhiều nhất là (k-2) phần tử đầu tiên, đều cùng được phát hiện hoặc cùng không được phát hiện bởi đồng cấu chuyển bội k. Tác giả cùng các cộng sự đã phủ định giả thuyết Minami dự đoán rằng sau khi địa phương hoá bằng cách làm cho toán tử squaring khả nghịch thì đồng cấu chuyển đại số trở thành một đẳng cấu.

Tác giả đề xuất giả thuyết về tính đẳng cấu sau một số lần lặp của toán tử squaring trên đối đồng điều của đại số Steenrod. Giả thuyết này đang gây được sự chú ý của các đồng nghiệp quốc tế. Lý do là vì khi kết hợp giả thuyết này với Giả thuyết mới về ngày tận thế, người ta có được một bức tranh khá thuyết phục về dáng điệu của đối đồng điều của đại số Steenrod.