1. Họ và tên nghiên cứu sinh: Trần Xuân Quý                 

2. Giới tính: Nam

3. Ngày sinh: 18/5/1983                                                

4. Nơi sinh: Hà Tĩnh

5. Quyết định công nhận nghiên cứu sinh số 1691/QĐ - SĐH, ngày 07 tháng 5 năm 2009 của Giám đốc Đại học Quốc gia Hà Nội.

6. Các thay đổi trong quá trình đào tạo: Không

7. Tên đề tài luận án: Về độ đo phổ ngẫu nhiên và Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

8. Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học         

9. Mã số: 62 46 01 06

10. Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng – Trường ĐHKHTN Hà Nội, TS. Nguyễn Thịnh – Trường ĐHKHTN Hà Nội.

11. Tóm tắt các kết quả mới của luận án:

- Đưa ra khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên, chứng minh định lý  phổ cho các toán tử ngẫu nhiên chuẩn tắc và toán tử ngẫu nhiên Hermit;

- Đưa ra khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng, xây dựng được tích phân đối với độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng. Chứng minh được định lý hội tụ bị chặn đối với độ đo phổ ngẫu nhiên;

- Chứng minh được rằng mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên. Kết quả này được trình bày trong Định lý 2.2.9;

- Định nghĩa khái niệm toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính.

- Phát biểu và chứng minh Định lý 3.2.9 khẳng định toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính từ không gian Hilbert xác suất  vào không gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị phức là bị chặn khi và chỉ khi nó được biểu diễn như tích trong ngẫu nhiên trên (có thể xem đây là phiên bản ngẫu nhiên của biểu diễn Riesz quen biết  về biểu diễn phiếm hàm tuyến tính bị chặn tất định);

- Nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc, toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp trong không gian Hilbert xác suất . Chỉ ra điều kiện đủ để toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng có thể mở rộng thành toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp (Định lý 3.3.5). Có thể xem đây là một phiên bản ngẫu nhiên hóa của Định lý Friedrichs - Stone -Wintner trong trường hợp tất định cho toán tử tuyến tính đối xứng nửa bị chặn;

- Chứng minh  rằng nếu là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp và α là số phức với phần ảo khác không thì là song ánh và là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc.

12. Khả năng ứng dụng trong thực tiễn: Đề tài nghiên cứu thuần túy về lý thuyết, chưa phát triển ứng dụng thực tế.

13. Những hướng nghiên cứu tiếp theo:

- Trong Chương 2 của luận án, chúng tôi đã chứng minh được rằng mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên. Câu hỏi đặt ra là liệu kết quả này còn đúng cho mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên không gian đo bất kỳ hay không?

- Định nghĩa Độ đo phổ ngẫu nhiên trừu tượng và nghiên cứu định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trừu tượng.

- Nghiên cứu Lý thuyết nửa nhóm các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: Cho H là không gian Hilbert. Ký hiệu  là tập các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn trên H. Cho ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau T(0)=I, T(t+s)=T(t)T(s). Ta gọi là nửa nhóm các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Bài toán: Tìm phiên bản ngẫu nhiên cho các kết quả kinh điển của lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính tất định cho lý thuyết các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính.

14. Các công trình đã công bố liên quan đến luận án

[1]. Thang. D.H, Quy. T.X., Spectral Theorem for Random Operators, Southeast Asia Bulletin for Mathematics,  (2014) (accepted).

[2]. Thang. D.H, Nguyen Thinh, Quy. T.X., Generalized Spectral Random Measures, J Theor Probab, 27, pp576 – 600  (2014).

[3]. Quy. T.X., Thang. D.H, Nguyen Thinh, Abstract Random Linear Operators on Probabilistic Unitary Spaces, J. Korean Math. Soc, (2015) (accepted).

>>>>> Xem thêm thông tin chi tiết bản tiếng Anh.