Trước tiên, cần phải nhấn mạnh ở đây rằng đa số các quá trình, hiện tượng xảy ra trong thực tế đều mang tính phi tuyến. Do hạn chế của phương pháp nghiên cứu, lúc đầu người ta phải đơn giản hóa các mô hình tính toán ở dạng tuyến tính. Nhưng do sự phát triển không ngừng của kỹ thuật, các mô hình tuyến tính đã không còn tác dụng trước những hiện tượng phức tạp của thực tế. Các mô hình phi tuyến lần lượt ra đời cùng những phương pháp nghiên cứu mới. Trước khi phương pháp tiệm cận ra đời, trong phân tích tích phi tuyến người ta thường sử dụng các phương pháp định tính, giải tích và phương pháp tham số bé có rất nhiều hạn chế. Phương pháp tiệm cận ra đời, do tính thuận tiện và tổng quát của nó, cho phép chúng ta phát hiện ra nhiều hiệu ứng mới trong các hệ phi tuyến mà các phương pháp khác không thể làm được.

Nguyễn Văn Đạo, cũng như nhiều nhà nghiên cứu khác bắt đầu những nghiên cứu của mình bằng sự áp dụng phương pháp tiệm cận để nghiên cứu, khám phá ra những hiệu ứng mới trong các hệ phi tuyến. Các hiệu ứng mới được GS. Nguyễn văn Đạo quan tâm, giải quyết trong các nghiên cứu của mình là: các bộ tắt chấn phi tuyến; ảnh hưởng của kích động tham số và hiện tượng tương tác của các yếu tố trong các hệ phi tuyến.

Công trình khoa học có tầm cỡ quốc tế đầu tiên của GS. Nguyễn Văn Đạo, được công bố vào năm 1965, đã được viết thành luận án Phó tiến sỹ và bảo vệ cùng năm tại Đại học tổng hợp Moscơva mang tên Lômônôsôv là về Dao động và ổn định của hệ động lực với các bộ tắt chấn. Vấn đề này đã được Ông quay trở lại nghiên cứu vào suốt những năm 80, đầu những năm 90 của thế kỷ 20. Quan tâm đến các bộ tắt chấn chính là quan tâm đến sự ứng dụng của lý thuyết dao động trong thực tế. Bởi vì trong thực tế, rất nhiều hiện tượng rung động có hại cần phải cách ly hoặc dập tắt để bảo vệ thiết bị, máy móc. Đóng góp của GS. Nguyễn Văn Đạo, trong lĩnh vực này là ở chỗ Ông đã giải thích được cơ chế làm việc và tác dụng của các bộ tắt chấn phi tuyến sử dụng phương pháp tiệm cận. Chính những khám phá này giúp cho các kỹ sư có những định hướng để lựa chọn các biện pháp khử rung cho máy và công trình. Năm 1989, Ông đã công bố một công trình nghiên cứu có địa chỉ ứng dụng cụ thể là Bộ tắt chấn động lực cho máy khoan.

Kích động tham số trong các hệ phi tuyến được GS. Nguyễn Văn Đạo khởi đầu vào năm 1971, công bố tại Vac-sa-va và vấn đề này đã được Ông tập trung nghiên cứu một cách bài bản và sâu sắc cho đến năm 1976, khi Ông bảo vệ thành công Luận án tiến sỹ khoa học tại Ba-Lan với đề tài: Kích động tham số của dao động phi tuyến trong các hệ động lực. Đối với các nhà cơ học, bài toán về kích động tham số lý thú nhất được phát hiện khi nghiên cứu dao động của con lắc với điểm treo di động. Ở đây, người ta đã phát hiện ra một hiện tượng rất lạ: có thể chọn quy luật chuyển động của điểm treo làm cho trạng thái cân bằng “thẳng đứng với điểm treo ở dưới” ổn định. Đóng góp chính của GS. Nguyễn Văn Đạo về đề tài này chính là những kết quả phân tích ảnh hưởng của kích động tham số lên các hệ có lực cản phi tuyến khác nhau, lực điện từ và trong trường hợp hệ không đàn hồi hoàn toàn.

Có thể nói, bản chất sâu xa nhất của hệ phi tuyến chính là sự tương tác giữa các thành phần lực tác dụng lên hệ cơ học. Thật vậy, trong hệ tuyến tính thỏa mãn nguyên lý công tác dụng. Điều này có nghĩa là các lực tác dụng độc lập với nhau, gây nên những hiệu ứng không liên quan với nhau. Khi nguyên lý cộng tác dụng không còn có hiệu lực, tức hệ là phi tuyến, sự tác dụng qua lại với nhau giữa các lực là điều tất yếu. Đây chính là đặc thù cơ bản nhất của hệ phi tuyến so với hệ tuyến tính. GS Nguyễn Văn Đạo đã nhận ra vấn đề này rất sớm, từ năm 1966, sau khi Ông bảo vệ thành công luận án Phó tiến sỹ từ Nga về. Ông công bố khá tập trung những nghiên cứu của mình về vấn đề này vào những năm 1966-1969 và 1997-1999. Đặc biệt là vào năm 1999, cùng với GS. Nguyễn Văn Đình, Ông đã công bố một chuyên khảo mang tên “Tương tác giữa các hệ dao động phi tuyến”. Trong cuốn sách này, Ông đã công bố những kết quả nghiên cứu của mình và các công sự về sự tương tác giữa ngoại lực và kích động tham số trong các hệ Duffing và Van de Pol, sự tương tác giữa các thành phần phi tuyến có bậc nhỏ khác nhau hay sự tương tác giữa các bậc tư do trong mô hình hệ nhiều bậc tự do và mô hình dao động nhiều hướng.

Việc sử dụng phương pháp tiệm cận trong các hệ phi tuyến của Giáo sư Nguyễn Văn Đạo không chỉ dừng lại ở những nghiên cứu lý thuyết, mà còn được áp dụng vào các bài toán cụ thể. Giáo sư đã công bố nghiên cứu của mình về dao động của búa treo trên máy nghiền hay mô hình phi tuyến của chuyển động tàu thủy, ngoài các nghiên cứu về bộ tắt chấn cho máy khoan nêu trên.

Trong khoảng trên 100 công trình nghiên cứu đã công bố của GS. Nguyễn Văn Đạo có khoảng non một nửa các công trình giành cho việc phát triển phương pháp tiệm cận để nghiên cứu các hệ phi tuyến phức tạp. Trước tiên phải kể đến đóng góp của Ông trong việc phát triển phương pháp tiệm cận để nghiên cứu các hệ đàn nhớt Húc-Macxoen và sau đó Ông đã phát triển và xây dựng một lý thuyết khá xinh xắn và đầy đủ về phương pháp tiệm tận cho phương trình vi phân cấp 3 phi tuyến. Bắt đầu từ năm 1980, GS. Nguyễn Văn Đạo cùng với phu nhân của mình là PGS. Trần Kim Chi đã triển khai việc phát triển phương pháp tiệm cận để giải các phương trình vi phân bậc cao phi tuyến bé. Những công bố này, cho đến nay đã trở thành những công trình gốc cho các nhà nghiên cứu dao động phi tuyến trong các hệ bậc cao. Tác giả bài viết này, khi làm đồ án tốt nghiệp đại học về ứng dụng phương pháp tiệm cận trong nghiên cứu các hệ đàn nhớt mô tả bằng phương trình vi tích phân, rất sung sướng được đọc công trình của GS. Nguyễn Văn Đạo trên tạp chí Toán học Ukraina về đề tài “Ứng dụng phương pháp tiệm cận để nghiên cứu dao động đa tần trong hệ phương trình vi tích phân á tuyến bậc 2”. Sau đó, khi về làm việc tại Viện Cơ học, tác giả cũng đã nhận được sự ủng hộ quý báu của GS. Nguyễn Văn Đạo trong việc nghiên cứu các hệ mô tả bằng phương trình vi tích phân.

Cuối những năm 1970, tại Phòng Cơ học thuộc Viện Khoa học Việt Nam bắt đầu triển khai hướng nghiên cứu dao động ngẫu nhiên của các hệ cơ học dưới sự chỉ đạo của GS. Nguyễn Cao Mệnh. Là một người tham gia trong nhóm nghiên cứu này, tác giả của bài viết này đã tình cờ đọc được bài báo của GS. Nguyễn Văn Đạo về tác dụng của các lực ngẫu nhiên lên hệ tự chấn, công bố trong tập san Cơ học của UBKHKT Nhà nước từ năm 1966. Đây là một công trình rất thú vị và rất bổ ích cho những người bắt đầu nghiên cứu tác động của các lực ngẫu nhiên lên các hệ cơ học. Trong bài báo này, lần đầu tiên một người Việt Nam đã có ý tưởng áp dụng phương pháp tiệm cận để nghiên cứu dao động ngẫu nhiên của các hệ phi tuyến và có lẽ là người đầu tiên áp dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich (không phải là phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô) để nghiên cứu các hệ cơ học chịu kích động ngẫu nhiên bất kỳ (không phải là ồn trắng). Chính ý tưởng này đã giúp tác giả của bài viết này tìm ra hướng đi trong việc nghiên cứu phương trình vi tích phân ngẫu nhiên và sau đó đã bảo vệ thành công luận án tiến sỹ khoa học về vấn đề dao động ngẫu nhiên của các hệ có tác động chậm. GS. Nguyễn Văn Đạo còn quan tâm đến dao động phi tuyến của các hệ dưới sự điều khiển trễ. Trong công bố của mình năm 1999 trên Tạp chí Cơ học Việt Nam, Ông đã chỉ ra được ảnh hưởng của thời gian “tác động chậm” đến biên độ dao động của hệ Duffing là rất phức tạp, nó có thể làm tăng nhưng cũng có thể làm giảm biên độ dao động phụ thuộc vào các tác động khác trong hệ.

Giá sư Nguyễn Văn Đạo cũng đã phát triển phương pháp tiệm cận để nghiên cứu kết cấu phi tuyến, được mô tả bằng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Ngay từ năm 1966, Ông đã có công trình nghiên cứu về dao động ngang phi tuyến của dầm đàn hồi hay dao động của dây với chuyển vị lớn. Năm 1980 Ông đã công bố một công trình cùng với GS. Osinski (Ba Lan) về dao động thông số của dầm đồng chất trong mô hình lưu biến và trong những năm 1980, Ông đã hướng dẫn một nghiên cứu sinh, nay là PGS. Hoàng Văn Đa, bảo vệ thành công luận án tiến sỹ về dao động phi tuyến của hệ đàn hồi.

Tóm lại, với trên 40 năm miệt mài nghiên cứu cho dù có những lúc GS. Nguyễn Văn Đạo bận rất nhiều việc quản lý, Ông vẫn để lại những công trình nghiên cứu nổi tiếng về dao động phi tuyến, đã được Nhà nước Việt Nam trao tằng Giải thưởng Hồ Chí Minh và Nhà nước Ukraina trao tặng Giải thưởng Nhà nước. Những kết quả nghiên cứu ấy có thể tóm tắt lại một cách ngắn gọn như sau:

1. Bằng phương pháp tiệm cận của Krưlôv-Bôgôliubôv-Mitropôlskii, GS.VS. Nguyễn Văn Đạo đã nghiên cứu chi tiết sự làm việc của bộ tắt chấn động lực trong các hệ phi tuyến bé. Những kết quả này đã và sẽ được ứng dụng trong thực tế để ngăn ngừa những dao động có hại trong máy móc và công trình.

2. GS.VS. Nguyễn Văn Đạo đã nghiên cứu rất bài bản và đầy đủ ảnh hưởng của kích động tham số trong các hệ phi tuyến. Thành công của Ông theo hướng này không chỉ giúp Ông bảo vệ xuất sắc luận án tiến sỹ khoa học tại Đại học Bách khoa Vac-sa-va mà sau đó đã làm Ông trở nên nổi tiếng trên thế giới trong hàng ngũ một số ít các chuyên gia hàng đầu trong lĩnh vực dao động phi tuyến.

3. GS. Nguyễn Văn Đạo là người sớm nhận ra sự “tương tác” giữa các thành phần là đặc thù của các hệ phi tuyến. Có lẽ phát hiện này sẽ đi vào sách giáo khoa cho các thế hệ sau về lý thuyết dao động phi tuyến. Ông đã có những phát hiện có giá trị về sự tương tác giữa lực ngoài và kích động tham số, giữa các thành phần phi tuyến có cấp khác nhau hay giữa các dạng kích động tham số khác nhau.

4. Giáo sư Nguyễn Văn Đạo đã có đóng góp to lớn trong việc phát triển phương pháp tiệm cận để nghiên cứu dao động phi tuyến trong các hệ bậc cao (hơn 2). Có thể nói những công trình của Ông về các hệ phi tuyến bậc 3 đã trở thành những kết quả kinh điển để giảng dạy trong các trường Đại học trên thế giới.

Thay cho lời kết, xin được nhắc lại nhận định của nhiều người, trong đó có các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới về Giáo sư Viện sỹ Nguyễn Văn Đạo rằng: Bằng những công trình nghiên cứu của mình Giáo sư Viện sỹ Nguyễn văn Đạo đã xây dựng nên một trường phái dao động phi tuyến Hà Nội ngang tầm với những Trung tâm nổi tiếng trên thế giới như Kiev (Ukraina), Moscơva (Nga), Vac-sa-va (Ba Lan), Virginia (Mỹ), Tokyo (Nhật).

Nhân kỷ niệm 70 năm ngày sinh của cố GS.VS. Nguyễn Văn Đạo chúng ta xin kính cẩn gửi tới hương hồn Ông lòng biết ơn sâu nặng về những gì Ông đã để lại.